Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别于BC、AD相交于点E、F.

（1）求证四边形BEDF为矩形.

（2）若BD²=BE·BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.

Answer

（1）见解析（2）CD与⊙O相切

【解析】【解析】
（1）证明：∵BD为⊙O的直径，∴∠DEB=∠DFB=900。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。

∴∠FBC=∠DFB=900，∠EDA=∠BED=900。

∴四边形BEDF为矩形。

（2）直线CD与⊙O的位置关系式相切。理由如下：

∵BD2=BE?BC，∴。

∵∠DBC=∠CBD，∴△BED∽△BDC。∴∠BDC=∠BED=900，即BD⊥CD。

∵OD是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切。

（1）求出∠DEB=∠DFB=90°，根据平行四边形的性质推出AD∥BC，推出∠FBC=∠DFB=90°，∠EDA=∠BED=900，根据矩形的判定推出即可。

（2）根据已知求出△BED∽△BDC，推出∠BDC=∠BED=900，根据切线判定推出即可。