Question

已知：如图，抛物线y=ax²-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。 求该抛物线的解析式； 点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； 若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。

问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标若不存在，请说明理由。

Answer

(1)   (2) 当时，有最大值3，此时．

(3) 所求点的坐标为：或或或

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由题意，得

解得

所求抛物线的解析式为：． （4分）

（2）设点的坐标为，过点作轴于点．

由，得，．

点的坐标为．，．

，．，

即．．

．

又，

当时，有最大值3，此时．

（3）存在．

在中．

（ⅰ）若，，．

又在中，，．．

．此时，点的坐标为．

由，得，．

此时，点的坐标为：或． （10分）

（ⅱ）若，过点作轴于点，

由等腰三角形的性质得：，，

在等腰直角中，．．

由，得，．

此时，点的坐标为：或． （12分）

（ⅲ）若，，且

点到的距离为，而，

此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形．（13分）

综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点的坐标为：

或或或

考点：利用待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的性质 等腰三角形的性质