Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：△BMD∽△CNE；

（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；当x为何值时，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer

（1）通过证明角相等，从而证明△BMD∽△CNE。

（2）当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切

（3）y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）

当x=2时，y有最大值，最大值为．

【解析】

试题分析：（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵△DEF是等边三角形，

∴∠FDE=∠FED=60°，

∴∠MDB=∠NEC=120°，

∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，

∴△BMD∽△CNE；

（2）过点M作MH⊥BC，

∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，

∴MH=MF，

设BD=x，

∵△DEF是等边三角形，

∴∠FDE=60°，

∵∠B=30°，

∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B，

∴DM=BD=x，

∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x，

在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，

解得：x=16﹣8，

∴当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；

（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，

∵AB=AC，

∴BK=BC=×8=4，

∵∠B=30°，

∴AK=BK?tan∠B=4×=，

∴S△ABC=BC?AK=×8×=，

由（2）得：MD=BD=x，

∴MH=MD?sin∠MDH=x，

∴S△BDM=?x?x=x2，

∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，

∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x，

∵△BMD∽△CNE，

∴S△BDM：S△CEN=（）2=，

∴S△CEN=（4﹣x）2，

∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣（4﹣x）2=﹣x2+2x+=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4），

当x=2时，y有最大值，最大值为．

考点：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识