Question

如图，A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A，B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角

（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，

①若AB是⊙O的直径，则∠APB=      °；

②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；

（2）已知O₂是⊙O₁外一点，以O₂为圆心作一个圆与⊙O₁相交于A、B两点，∠APB是⊙O₁上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O₂于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系，直接写出结论．

Answer

(1) ①90°②∠APB=135°

（2）∠APB=∠MAN-∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB－180°；

∠APB=180°－∠MAN－∠ANB；∠APB=∠MAN+∠ANB

【解析】

试题分析：（1）①90°

②如图，连接AB、OA、OB．

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB= ，∴OA2+OB2=AB2

∴∠AOB=90°。

当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB= ∠AOB=45°；

当点P在劣弧 AB 上时（如图2），

∠APB= （360°－∠AOB）=135°。

（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．

第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN-∠ANB。

第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。

第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。

第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。

考点：圆周角定理；勾股定理逆定理；三角形内角和定理和外角性质