Question

如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A．过点作直线轴于点M，交抛物线于点B，过点B作直线BC∥轴与抛物线交于点C（B、C不重合），连结CP．

（1）当时，求点A的坐标及BC的长；

（2）当时，连结CA，问为何值时？

（3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并求出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A(-4，0)，BC=2；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）把m=2代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△ACH∽△PCB，根据相似的性质得到，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和当0＜m＜1时，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．

（1）当m=2时，，

令y=0，得，∴

∴A(-4，0)   

当x=-1时，y=3，∴B（-1，3）

∵抛物线的对称轴为直线x=-2，

又∵B，C关于对称轴对称，

∴BC=2．

∴           

∴∴；

（3）∵B，C不重合，∴m≠1．（I）当m＞1时，BC=2(m-1),PM=m,   BP=m-1.

(i)若点E在x轴上（如图1），

∵∠CPE=90°，∴∠MPE＋∠BPC=∠MPE＋∠MEP=90°，

∴∠BPC=∠MEP．  又∵∠CPB=∠PME=90°，PC=EP

∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM,      ∴2（m－1）=m，

∴m=2,此时点E的坐标是（-2，0）．

（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，   BP=1－m,

（i）若点E在x轴上， 易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，

∴2（1－m）=m,∴，此时点E的坐标是；

考点：函数的综合题