Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=6cm，经过A，B的直线l以1cm/秒的速度向下作匀速平移运动，交BC于点B′，交CD于点 D′，与此同时，点P从点B′ 出发，在直线l上以1cm/秒的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．

（1）你求出的AB的长是　　　　　；

（2）过点C作CD⊥AB于点D，t为何值时，点P移动到CD上？

（3）t为何值时，以点P为圆心、1cm为半径的圆与直线CD相切？

（4）以点P为圆心、1 cm为半径的⊙P与CD所在的直线相交时，是否存在点P与两个交点构成的三角形是等边三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）12；（2）2；（3）或；（4）2-或2+

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理即可求得结果；

（2）由题可得∠BCD=30°，根据含30°的直径三角形的性质即可求得结果；

（3）此题应分作两种情况考虑：①当P位于OC左侧，⊙P与CD第一次相切时，②当P位于OC右侧，⊙P与OC第二次相切时，根据直线和圆的位置关系进行分析；

（4）此题应分作两种情况考虑：①当P位于OC左侧，②当P位于OC右侧，结合等边三角形的性质分析.

（1）∵∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=6cm

∴

（2）由题意得∠BCD=30°

∴当点P移动到CD上时有，解得

当时，点P移动到CD上；

（3）此题应分为两种情况：

①当⊙P和OC第一次相切时，根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得

，解得

②当⊙P和OC第二次相切时，根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得

，解得

当或时，以点P为圆心、1cm为半径的圆与直线CD相切；

（4）或

考点：圆的综合题