Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+42交x轴于点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax²﹣2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．

（1）求点C、D的纵坐标．

（2）求a、c的值．

（3）若Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．

（4）若Q为线段OB或线段AB上一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

Answer

（1）C的纵坐标为16，D的纵坐标为4，(2)a=,c="10" (3)PQ=2±3(4)0≦m≦4或8≦m≦16.

【解析】

试题分析：【解析】
(1）∵点C在直线AB：y=﹣2x+42上，且C点的横坐标为16，

∴y=﹣2×16+42=10，即点C的纵坐标为10；

∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，

∴点D的纵坐标为4；

（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），

∵抛物线y=ax2﹣2x+c经过C、D两点，

∴，

解得：a=，c=10，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+10；

（3）∵Q为线段OB上一点，纵坐标为5，

∴P点的横坐标也为5，

∵点Q在抛物线上，纵坐标为5，

∴x2﹣2x+10=5，

解得x1=8+2，x2=8﹣2，

当点Q的坐标为（8+2，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为2+3，

当点Q的坐标为（8﹣2，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为2﹣3．

所以线段PQ的长为2+3或2﹣3．

（4）根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，

抛物线y=x2﹣2x+10=（x﹣8）2+2的顶点坐标为（8，2），

联立解得点B的坐标为（14，14），

①当点Q为线段OB上时，如图所示，当0≤m≤4或8≤m≤14时，d随m的增大而减小，

②当点Q为线段AB上时，如图所示，当14≤m≤16时，d随m的增大而减小，

综上所述，当0≤m≤4或8≤m≤16时，d随m的增大而减小．

考点：二次函数图像及性质，一次函数图像及性质。