Question

如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．⑴求证：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

Answer

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。∴∠ABF＝∠ECF。∵EC＝DC，∴AB＝EC。在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF

（2）∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形。∴AF＝EF， BF＝CF。∵四边形ABCD是平行四边形。

∴∠ABC＝∠D。又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。 ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB。∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC。∴四边形ABEC是矩形

【解析】

试题分析：

证明：⑴证明全等三角形，可以采用SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形可用HL，观察图形和审题，可以找到对顶角相等，由于位于平行四边形中，还有内错角相等，对应边相等，由此可找出相应条件证明。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。∴∠ABF＝∠ECF。∵EC＝DC，∴AB＝EC。在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF。

（2）证明四边形是矩形，可以通过证明有一个角是90°的平行四边形，或者证明是对角边互相平分的平行四边形。证明过程如下：

∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形。∴AF＝EF， BF＝CF。∵四边形ABCD是平行四边形。

∴∠ABC＝∠D。又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。 ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB。∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC。∴四边形ABEC是矩形。

考点：全等三角形和矩形的证明