Question

在△ABC中，P是BC边上的一个动点，以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F．

（1）若∠BAC＝45°，EF＝4，则AP的长为多少？

（2）在（1）条件下，求阴影部分面积．

（3）试探究：当点P在何处时，EF最短？请直接写出你所发现的结论，不必证明．

Answer

（1）直径AP=2OE=（2）S阴影=S扇形EOF-S△EOF（3）当AP⊥BC时，EF最短

【解析】

试题分析：【解析】
（1）连接OE、OF，则OE=OF

∵∠EOF=2∠EAF，而∠EAF=∠BAC=45°

∴∠EOF=90°

∴△EOF是等腰直角三角形

在Rt△EOF中

∴OE=OF=

∴直径AP=2OE=．

（2）S阴影=S扇形EOF-S△EOF

．

（3）在Rt△AEP中，根据垂径定理和勾股定理知，当AP取最小值时，EF的值最小；又根据点到直线的距离垂线段最短垂线段最短知当AP⊥BC时，AP最短．所以当AP⊥BC时，EF最短．

考点：圆和三角形勾股定理