Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为        ．

Answer

【解析】当F、B在AC的同侧时。

分别过C、F作AB的垂线，垂足分别为D、E。再过F作FH⊥BC交BC于H。

∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°， ∴AC＝BC＝1， ∴AB＝。

∵AC⊥BC、CD⊥AB， ∴AD＝BD， ∴CD＝AD＝AB/2＝、∠ABC＝45°。

∵CF∥AB、CD⊥AB、FE⊥AB， ∴FE＝CD＝，又AF＝AB＝， ∴FE＝AF/2。

由FE＝AF/2、FE⊥AE，得：∠FAE＝30°， ∴AE＝√3FE＝。

∵CF∥DE、CD⊥DE、FE⊥DE， ∴CDEF是矩形，

∴CF＝DE＝AE－AD＝－。

∵CF∥DB， ∴∠FCB＝∠ABC＝45°。

∵∠FCH＝45°、FH⊥CH， ∴FH＝CF/√2＝（－）/＝。

∴此时F到BC的距离为 。

、当F、B在AC的两侧时。

过A作AM⊥FC交FC于M，再过F作FN⊥BC交BC的延长线于N。

∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝45°。

∵FC∥AB， ∴∠ACM＝∠BAC＝45°，又AM⊥CM， ∴CM＝AM＝AC/＝1/。

∵AF＝AB＝、AM＝1/＝、AM⊥FM， ∴∠AFM＝30°，

∴FM＝AM＝， ∴CF＝FM＋CM＝＋。

显然有：∠FCN＝180°－∠ACB－∠ACM＝180°－90°－45°＝45°，又FN⊥CN，

∴FN＝CF/＝（＋）/＝。

∴此时F到BC的距离为 。

综上所述，得：F到BC的距离是 ，或