Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（，0），点B在抛物线上．

（1）点A的坐标为             ，点B的坐标为             ；

（2）抛物线的解析式为             ；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）A（0，2）， B（，1）．

（2）．

（3）15/8

（4）存在，

点P的坐标为（1，-1）和（2，1）

【解析】（1）A（0，2）， B（，1）．

（2）．

（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（）．

设直线BD的关系式为， 将点B、D的坐标代入，求得，，

∴ BD的关系式为．

设直线BD和x 轴交点为E，则点E（，0），CE=．

∴  △DBC的面积为．

（4）存在，

点P的坐标为（1，-1）和（2，1）

（1）根据腰长为的等腰Rt△ABC（∠C=90°），由AC= ，CO=1，求出AO即可得出A点的坐标，进而得出B点的坐标；

（2）将B点坐标代入y=ax2+ax-2即可得出二次函数解析式；

（3）由（2）得顶点D的坐标，从而求得BD的关系式，设直线BD和x 轴交点为E，可求得E点坐标，求得CE长，最后求得△DBC的面积

（4）延长BC到P，使CP=BC，连接AP，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质解答即可．