Question

如图，Rt△ABC中，∠C= Rt∠，AC=BC=2，E，F分别为AC，AB的中点，连结EF。

现将一把直角尺放在给出的图形上，使直角顶点P在线段EF（包括端点）上滑动，直角的

一边始终经过点C，另一边与BF相交于G，连结AP。

（1）求证：PC=PA=PG；

（2）设EP=，四边形BCPG的面积为，求与之间的函数解析式，现有三个数，， 试通过计算说明哪几个数符合值的要求，并求出符合值时的的值。

（3）当直角顶点P滑动到点F时，再将直角尺绕点F顺时针旋转，两直角边分别交AC，BC于点M，N，连结MN。当旋转到使时，求△APM的周长。

Answer

（1）∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF=，EF∥BC，

∴EF垂直平分AC，∴AP=PC，

∠ECP=∠EAP；∵∠CPG=90°，∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC

∴∠ECP=∠GPF。∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，

  ∠EAP+∠PAF=45°，∴∠PGF=∠PAF。

∴PA=PG，∴PA=PC=PG。

（2）过G作PF的垂线，垂足为H，

∵ ∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°∴∠ECP=∠HPH， PC=PG。

则R△PCE≌R△GPH（AAS），∴GH=PE=

∴，

∴  ，或。

∵0≤＜1，∴1＜≤。∴，不符合，所以只有，

∴，，解得，，＞1（舍去），

答当时，的值为。

或①当时，，△＜0，方程无实数解；

②当时，，解得，，＞1（舍去），

所以当时，的值为。

③当时，，解得＜0（舍去），＞1（舍去），所以不符合。

（2）连结CP，则CP⊥AB，

∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，

∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），  AM=CN，

则CN=BN，，则，

  ，解得，，，即或；

  ∴，，  ∴周长为，或

【解析】（1）先利用EF垂直平分AC得出AP=PC,再利用等量代换得出∠PGF=∠PAF得出PA=PG，从而得出PA=PC=PG;

(2)过G点作PF的垂线，垂足为H，证出R△PCE≌R△GPH，得出GH=PE=，然后利用四边形BCPG面积=梯形BCEF面积-△CEP面积-△PFG面积得出解析式，然后根据0≤＜1，得出y的取值范围，再把已知的三个数代入求解；

（3）连接CP，证出△APM≌△CPN，得出AM=CN，然后利用△MNC为直角三角形，算出CM的长，即AM的长，再计算出AP和PM的长，从而得出△APM的周长。