Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E．

（1）①求证：△ABE∽△ADB；

     ②若AE=2，ED=4，求⊙O的面积；

（2）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，若AC∥FD，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）①∵⊙O的弦AB=AC，∴弧AB=弧AC，

∴∠ABE=∠ADB，

又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB；

②∵△ABE∽△ADB，

∴，可得AB2=AD×AE

∵AE=2，ED=4，

∴AB2=AD×AE=6×2=12，可得AB=2，

∵BD为⊙O的直径，

∴Rt△ABD中，BD==4

所以⊙O的半径为R=2，可得⊙O的面积为：S=πR2=12π（平方单位）

（2）直线FA与⊙O相切

 证明如下：连接AO

∵AC∥FD，∴∠C=∠CBD

∴弧AC=弧CD，

∵弧AB=弧AC，得弧AC=弧BAD

∴∠AOB=×180°=60°，

可得△ABO是等边三角形．

∴△ABF中，∠FBA=180°-∠ABO=120°

∵BF=BO=AB=BD

∴∠F=∠FBA=30°

因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°

∴OA⊥FA，直线FA过半径OA的外端且与半径OA垂直，

∴直线FA与⊙O相切

【解析】（1）①根据等弧所对的圆周角相等，结合公共角，可得∠ABE=∠ADB且∠BAE=∠DAB，不难得到△ABE∽△ADB；

②由△ABE∽△ADB，可得AB2=AD×AE，代入数据可得AB2=12，结合BD为⊙O的直径，可在Rt△ABD中，求出BD=4，从而得到⊙O的半径为2，最后利用圆面积公式即得⊙O的面积．

（2）直线FA与⊙O相切．连接AO，利用平行线的内错角相等，得到∠C=∠CBD，从而弧AC=弧CD，再结合弧AB=弧AC，得到弧AC=弧BAD，所以∠AOB=60°，得△ABO是等边三角形．接下来不难在等腰△ABF中，算出∠F=∠FBA=30°，因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°，OA⊥FA，得到直线FA与⊙O相切．