Question

如图所示，AB是倾角为θ=30°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R，一个质量为m的物体（可以看做质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：

（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；

（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；

（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′至少多大．

Answer

（1）；

（2）；

（3）

【解析】

试题分析：（1）滑动摩擦力做功与总路程有关，对整个过程，利用动能定理求总路程；

（2）对B→E过程，由动能定理求出物体通过E点时的速度，再由牛顿运动定律求物体对轨道的压力；

（3）物体刚好到最高点D时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出D点的速度，再由动能定理求解即可．

【解析】
（1）对整体过程，由动能定理得：

mgR•cosθ﹣μmgcosθ•s=0

所以物体在AB轨道上通过的总路程 s=．

（2）最终物体以B（还有B关于OE的对称点）为最高点，在圆弧底部做往复运动，对B→E过程，由动能定理得：

mgR（1﹣cos θ）=mvE2 ①

在E点，由牛顿第二定律得：FN﹣mg=m ②

由①②得 FN=（3﹣2cos θ）mg=

（3）物体刚好到D点，由牛顿第二定律有：

mg=m ③

对全过程由动能定理得：

mgL′sin θ﹣μmgcos θ•L′﹣mgR（1+cos θ）=mvD2 ④

由③④得：L′=•R=

答：

（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程是；

（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力是；

（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′至少是．

【点评】本题综合应用了动能定理求摩擦力做的功、圆周运动及圆周运动中能过最高点的条件，要知道滑动摩擦做功与总路程有关，小球刚到圆轨道最高点时重力等于向心力．