Question

如图所示是某公园中的一项游乐设施，半径为R=2.5m、r=1.5m的两圆形轨道甲和乙安装在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，现让可视为质点的质量为10kg的无动力小滑车从A点由静止释放，刚好可以滑过甲轨道后经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，然后从水平轨道飞入水池内，水面离水平轨道的高度h=5m，所有轨道均光滑，g=10m/s²．

（1）求小球到甲轨道最高点时的速度v．

（2）求小球到乙轨道最高点时对乙轨道的压力．

（3）若在水池中MN范围放上安全气垫（气垫厚度不计），水面上的B点在水平轨道边缘正下方，且BM=10m，BN=15m；要使小滑车能通过圆形轨道并安全到达气垫上，则小滑车起始点A距水平轨道的高度该如何设计？

Answer

（1）5m/s．

（2）333.3N．

（3）6.25m≤h≤11.25m

【解析】

试题分析：（1）小车在C轨道最高点对轨道恰好无压力，根据重力恰好等于向心力列式求解；

（2）对从C轨道最高点到D轨道最高点过程运用动能定理列式求解D轨道最高点速度，再根据在D轨道最高点时重力和弹力的合力提供向心力列式求解弹力大小；

（3）根据平抛运动的分位移公式列式求出平抛运动的初速度，再对从开始到平抛起点的过程运用动能定理列式求解．

【解析】
（1）在甲轨道最高点P有：

mg=m

代入解得：v=5m/s

即小车通过C轨道最高点的速度为5m/s；

（2）从甲轨道最高点P到乙轨道最高点Q，由动能定理得：

mg（2R﹣2r）=

在D轨道最高点：

mg+F=m

代入解得：N=333.3N

由牛顿第三定律知，小车对轨道的压力为333.3N；

（3）设刚好过P点，下落高度为h1，

从A到P，由动能定理得：

mg（h1﹣2R）=mvP2

解得 h1=6.25m，所以h≥6.25m…①

又：设物体到水平台右端E点速度为 vE，从E平抛刚好到M点：

h==5m

x1=vE1t=10m

解得 vE1=10m/s

从E平抛刚好到N点：x2=vE2t=15m

解得：vE2=15m/s

要使物体落在MN范围，10m/s≤vE≤15m/s．

从A到E，由动能定理得

mgh=﹣0

则5m≤h≤11.25m…②

由①②得：6.25m≤h≤11.25m

答：（1）小球到甲轨道最高点时的速度v是5m/s．

（2）小球到乙轨道最高点时对乙轨道的压力是333.3N．

（3）小滑车起始点A距水平轨道的高度范围为6.25m≤h≤11.25m．

【点评】本题关键要分析清楚小球的运动情况，然后根据向心力公式、牛顿第二定律、平抛运动分位移公式、动能定理列式求解；切入点在于小球恰好通过最高点，由重力充当向心力．