Question

已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点在抛物线和圆上，代入方程即可求解.

（2）设直线的方程为，点的坐标分别为，将抛物线与直线联立，分别消，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得，的面积为

即可求解.

（1）由圆及抛物线的对称性可知，点既在抛物线上也在圆上，

有：，解得

故抛物线的标准方程的

（2）设直线的方程为，

点的坐标分别为.

联立方程，消去后整理为，

可得，

联立方程，消去后整理为，

可得，，得

由有，，

，可得

的面积为

可得，有或

联立方程解得或，又由，

故此时直线的方程为或

联立方程，解方程组知方程组无解.

故直线的方程为或