Question

如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；

（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.

【解析】
（1）因为平面平面，交线为，又，

所以平面，，又，，

则平面，平面，

所以，；

（2）取的中点，的中点，连接，，则平面，平面；

以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

已知，则，，

，，，，

则，，

设平面的一个法向量，

由得令，则，，

即；

平面的一个法向量为；

.

所以二面角的余弦值为.