Question

如图，四边形中（图1），是的中点，， ，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）.

                   图1               图2

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取中点，连接，，故，，满足，, 所以是为斜边的直角三角形，，因是的中点，所以为的中位线，由此能够证明平面；（2）以为原点为轴，为轴，建立空间直角坐标系由，知，由此能求出异面直线与所成角；（3）由，知，满足,是平面的一个法向量，由此能求出点到平面的距离.

（1）

如图取BD中点M，连接AM，ME．因，

因，满足：,

所以是BC为斜边的直角三角形，,

因是的中点,所以ME为的中位线，

,，

是二面角的平面角=，

,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

平面AEM，

因,为等腰直角三角形，

，

.

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，

,D,C，

设异面直线与所成角为,

则，

，

由可知满足，

是平面ACD的一个法向量,

记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d

则,所以d.

（2），(3)解法二：

取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD

所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，

即或其补角中较小之一 ,

，N为在斜边中点

所以有NE=,MN=,ME=,

,

=.

(3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积,

又由（1）知AE是A-BCD的高、,

,

E为BC中点，AEBC又,,

,

所以到平面的距离.

解法三：(1) 因，满足：,,

如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，

则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c) (由图知a>0,b>0,c>0) ,

得

平面BCD的法向量可取,

，所以平面ABD的一个法向量为

则锐二面角的余弦值

从而有,

所以平面

(2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，

设异面直线与所成角为,则,

(3)由可知满足，

是平面ACD的一个法向量,

记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d

则， 所以d.