Question

如图，在直角坐标系中，已知点，，直线将分成两部分，记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为，各边长的倒数和为.

（Ⅰ） 分别求函数和的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ），，

（Ⅱ）存在，的最大值为.

【解析】

（Ⅰ）当时，多边形是三角形，三边长分别为，，，

当时，多边形是四边形，各边长为，，，，

由此分别求出和的解析式即可.

（Ⅱ）由的解析式可知，函数的单调递减区间是，再通过定义法说明在区间上单调递减，故存在，由此可求的最大值.

（Ⅰ）当时，多边形是三角形（如图①），三边长分别为，，，

此时，，

当时，多边形是四边形（如图②），各边长为，，，，

此时，

，

，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知，函数的单调递减区间是，

另一方面，任取，且，

则，

，

，，，

，

即，

，

在区间上单调递减，

当时，函数和在上均单调递减

，

存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减，且的最大值为.