Question

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长．

Answer

（Ⅰ）见解析． （Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】

试题第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.

（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，

且平面平面，

因为⊥，且平面

所以⊥平面．

因为平面，

所以⊥．

（Ⅱ）【解析】
在△中，因为，，，

所以，所以⊥．

所以，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以，，，

，，

，．

易知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则， 即，

令，则．

设二面角的平面角为，可知为锐角，

则，

即二面角的余弦值为．

（Ⅲ）【解析】
因为点在棱，所以，．

因为，

所以，．

又因为平面，为平面的一个法向量，

所以，即，所以．

所以，所以．