Question

已知定义在上的函数.

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）已知不等式，对所有恒成立，求关于的函数的最小值.

Answer

（1）函数为偶函数，证明见详解；（2）

【解析】

（1）根据偶函数的定义即可判断函数的奇偶性；

（2）根据不等式恒成立满足的条件确定的取值范围，再由基本不等式即可求得的取值范围.

（1）函数为偶函数.

因为函数的定义域关于原点对称，

且，

所以为偶函数.

（2）由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，所以对所有的恒成立，

即对所有的恒成立.

当时，显然符合题意；

当时要满足题意，则必有，解得;

所以的取值范围为：

所以

当且仅当即时等号成立,

所以的最小值为：.