Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）求证：当时，.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据题意，对函数求导，利用导数研究函数单调性问题，分情况讨论函数单调性；

（2）解法一：转化思想，等价于设，只须证当时，成立，即可证明.

解法二：导出的不等式，要证，只须证；

解法三：同解法二，只须证，构造函数，运用放缩法，证明不等式；

解法四：要证，只须证.因为，所以（）所以只须证，即证；

解法五：要证，只须证，结合解法四的放缩法，因为，所以（）再结合解法三的放缩法，又 ，即可证明.

解法一：（1）函数的定义域为，

.

当时，在恒成立，故在单调递增.

当时，由得.

当时，；当时，.

所以在单调递增，在单调递减.

综上，当时，在单调递增.

当时，在单调递增，在单调递减.

（2）由，等价于.

设，只须证当时，成立.

因为，

由，得有异号两根，令其正根为，

则，从而.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以的最大值为，

令，则，，

所以.

所以.

所以，所以当时，.

解法二：（1）同解法一.

（2）要证，只须证.①

设，则

令，则，在单调递减，

又，，

所以存在惟一的，使.

当时，，从而，单调递增；

当时，，，单调递减.

所以的最大值为，

因为，所以，所以，

又，所以①式成立，所以当时，.

解法三：（1）同解法一.

（2）要证，只须证.①

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，所以.

所以，

要证①式成立，只须证.②

设，则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以的最大值为，

又，所以②式成立，

所以当时，.

解法四：（1）同解法一.

（2）要证，只须证.

因为，所以（）

所以只须证，即证.①

设，

则（），

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，所以①式成立，

所以当时，.

解法五：（1）同解法一.

（2）要证，只须证.

因为，所以（）

又（证明过程见解法三，考生未写出证明过程扣1分）

所以只须证，即证，这显然成立.

所以当时，.