Question

如图，已知四边形是边长为2的菱形，，平面平面，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若四边形为直角梯形，且，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）首先根据题中条件证明线面垂直，然后根据线面垂直证明面面垂直；

（2）首先建立空间直角坐标系，然后求出点坐标，求出平面法向量，利用二面角公式求出二面角的余弦值.

（1）证明：因为四边形是边长为2的菱形，

所以，

又因为平面平面，

平面平面，

平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面；

（2）建立如图所示直角坐标系，

可知，，

有点，，，，

有，，，

设为平面的法向量，为平面的法向量，

有，，解得，，

设二面角，

有.