Question

设，函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若有两个相异极值点，，且，求证：.

Answer

（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出导函数，求出函数定义域，分类讨论，由确定增区间；

（2）求出，由得极值点满足，可把化为的函数，由的取值范围（由函数有两个极值点得）可得结论．

（1），，

当时，，函数在区间上是增函数；

当时，令，解得，则函数在区间上是减函数，在区间

上是增函数.

综上得：当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）证明：由题意，，

因为有两个相异极值点，，（）

所以，是方程的两个实根，解得，

其中.故

令，其中.

故，在上单调递减，

，即，

所以.