Question

已知在四棱锥中，，，是的中点，是等边三角形，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）取的中点为，连结，，，设交于，连结.证明，，即可证平面；（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，利用向量法求二面角的余弦值.

（1）证明：取的中点为，连结，，，设交于，连结.

因为，，

四边形与四边形均为菱形，

， ，，

因为为等边三角形，为中点，

，

因为平面平面，且平面平面.

平面且，

平面

因为平面，

，

因为H，分别为， 的中点，

，

.

又因为 ，

平面，

平面.

（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，

，，

设平面的一法向量.

由 .令，则.

由（1）可知，平面的一个法向量，

二面角的平面角的余弦值为.