Question

设函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．

（1）解不等式f（x）≥4．

（2）若f（x）+f（y）≤6，求x+y的取值范围．

Answer

（1）；（2）[﹣2，4]．

【解析】

（1）分类讨论去绝对值，转化解一元一次不等式组；

（2）根据绝对值不等式的性质，求出f（x）+f（y）的最小值，结合已知可求出f（x）+f（y）的值，进而求出结论.

（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．

∵f（x）≥4，∴或，

∴或，

∴不等式的解集为；

（2）f（x）+f（y）＝|x﹣2|+|x+1|+|y﹣2|+|y+1|

≥|x+y﹣4|+|x+y+2|≥|（x+y﹣4）﹣（x+y+2）|＝6，

当且仅当（x+y﹣4）（x+y+2）≤0，即﹣2≤x+y≤4时取等号，

∵f（x）+f（y）≤6，∴|x+y﹣4|+|x+y+2|≤6，

∴|x+y﹣4|+|x+y+2|＝6，∴﹣2≤x+y≤4，

∴x+y的取值范围为[﹣2，4]．