Question

设函数f（x），已知对任意的a∈[1，3]，若（k∈R且k＞0），恒有f（x₁）≥f（x₂），则k的最小值是_____．

Answer

24．

【解析】

由已知可得是偶函数，且在为增函数，要使恒成立，只需，，而，只需，结合范围，即可求解.

当x＞0，可得﹣x＜0，f（﹣x）＝2x+x2＝f（x），

同样可得x＜0时，f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝1，

可得f（x）为偶函数，

画出f（x）的图象，可得f（x）在[0，+∞）递增，

由f（x1）≥f（x2），可得f（|x1|）≥f（|x2|），即有|x1|≥|x2|，

即x12﹣x22≥0，即（x1﹣x2）（x1+x2）≥0，

由（k∈R且k＞0，a＞0），

可得x1＜x2，即x1﹣x2＜0，可得x1+x2≤0恒成立，

可得aa0，即有k，

由任意的a∈[1，3]，可得k24，

则k的最小值为24．

故答案为:24.