Question

已知z为虚数,z+为实数.

(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.

(2)求|z-4|的取值范围.

Answer

（1）z=2+3i或z=2-3i；（2）(1,5).

【解析】

试题（1）设，根据为纯虚数求得的值，再由为实数求出的值，即可得到复数；

（2）由为实数且可得，由此求得的范围，根据复数的模的定义把要求的式子可化为，从而求得范围.

试题解析：

(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,

由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.

(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,

所以y-=0,

因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,

由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),

所以|z-4|=|x+yi-4|=

=

=∈(1,5).