Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosA=acosC+ccosA．

（1）求角A的大小；

（2）若a=3，△ABC的周长为8，求△ABC的面积．

Answer

（1）A＝60°（2）

【解析】

（1）由正弦定理进行化简求解即可

（2）利用余弦定理，结合三角形的周长，求出bc的值，利用面积公式求解即可

（1）由正弦定理得：2sin Bcos A＝sin Acos C+sin Ccos A

2sinBcosA＝sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sin B．

因为sinB≠0，所以cosA，

又A为△ABC的内角

所以A＝60°．

（2）因为a＝3及△ABC的周长为8，

所以b+c＝5，

由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bcosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccos60°＝（b+c）2﹣3bc．

所以3bc＝（b十c）2﹣a2＝25﹣9＝16，

所以bc，

所以△ABC的面积SbcsinA．