Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，与相交于点E，平面，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据线面垂直的性质得和平面几何中的三角形的性质得，再由线面垂直的判定定理可得证；

（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，再由二面角的向量计算公式可求得值.

（1）平面，平面，.

又，，，，

，即，又，平面.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

，，，设平面的法向量为，

则，，，可取，即，

由（1）知平面的一个法向量为，

，

由题意可知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.