Question

已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数

为增函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.

试题解析：

（1）对求导得．

设直线与曲线切于点，则

，解得，

所以的值为1．

（2）记函数，下面考察函数的符号，

对函数求导得．

当时，恒成立．

当时，，

从而．

∴在上恒成立，故在上单调递减．

，∴，

又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．

∴；，，

∴，

从而，

∴，

由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．

①当时，在上恒成立，即在上恒成立，

记，则，

当变化时，变化情况列表如下：

3

0

极小值

∴，

故“在上恒成立”只需，即．

②当时，，当时，在上恒成立，

综合①②知，当时，函数为增函数．

故实数的取值范围是