Question

如图，四边形为矩形，在上，且，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且在平面上的射影在上.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）利用已知长度关系，结合余弦定理求出AF，BF长度，利用勾股定理证明垂直关系；

（2）借助（1）中垂直关系建立空间直角坐标系，求解法向量坐标，借助公式即得解.

（1）由于在平面上的射影在上，故平面，

故：

又

如图，可得

在中，由余弦定理：

在中，由余弦定理：

且：，因此故得证.

（2）

由（1）两两垂直，如图建立空间直角坐标系.

故：，

设平面的法向量为，

不妨令

因此：

设直线与平面所成角为

故

故直线与平面所成角的正弦值为：