Question

已知椭圆经过点，右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题可知值，由右焦点到直线的距离为3表示，和 构建方程组，求得，即可求得椭圆E的标准方程；

（2）设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，即可表示点M的坐标，由，垂直，则将M坐标中的k换成，即可表示N点坐标，再利用两点坐标分别表示与，观察即可证明.

（1）由题意知，，，，

解得，，．

所以椭圆的标准方程为．

（2）显然直线，的斜率存在．

设直线的方程为，

联立方程组，得，

解得，，

所以，．

由，垂直，可得直线的方程为．

用替换前式中的k，可得，．

则，

，

所以，故直线MN恒过定点．