Question

已知二次函数f（x）的最小值为﹣4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）的零点个数．

Answer

（1）；（2）个零点.

【解析】

【解析】
（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}，

∴f（x）＝a（x+1）（x﹣3）＝a[（x﹣1）2﹣4]（a＞0）

∴f（x）min＝﹣4a＝﹣4

∴a＝1

故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x﹣3

（2）g（x）4lnx﹣2（x＞0），

∴g′（x）

x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

x

（0，1）

1

（1，3）

3

（3，+∞）

g′（x）

+

0

﹣

0

+

g（x）

单调增加

极大值

单调减少

极小值

单调增加

当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）＝﹣4＜0；

又g（e5）20﹣2＞25﹣1﹣22＝9＞0

故函数g（x）只有1个零点，且零点