Question

瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为的欧拉三角形.如图，是的欧拉三角形（H为的垂心）.已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.

Answer

【解析】

由三角函数的余弦定理得：AB＝3，建立平面直角坐标系，利用坐标法得到阴影三角形的面积，从而利用几何概型公式得到结果.

【解析】
因为tan∠ACB＝2，所以cos∠ACB，

又因为AC＝3，BC＝2，

由余弦定理可得：AB＝3，

取BC的中点O，则OA⊥BC，

以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，

则B（﹣1，0），C（1，0），A（0，2），设H（0，y），

因为BH⊥AC，

所以1，

所以y，从而S，

故所求概率为：，

故答案为：．