Question

已知椭圆的焦距为4，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.

Answer

(1) (2) 直线与椭圆一定有唯一的公共点，见解析

【解析】

（1）根据题意得到关于、的方程组，解得.

（2）由题意，点坐标为，设，由知，求出，根据对称表示出点坐标，即可表示出直线的方程，联立直线与椭圆方程消元可得.

【解析】
（1）因为焦距为4，所以，又因为椭圆过点，

所以，故，，从而椭圆的方程为

已知椭圆的焦距为4，且过点.

（2）由题意，点坐标为，设，则，，再由知，，即.

由于，故，因为点是点关于轴的对称点，所以点.

故直线的斜率.

又因在椭圆上，所以.①

从而，故直线的方程为②

将②代入椭圆方程，得

③

再将①代入③，化简得：

解得，，即直线与椭圆一定有唯一的公共点.