Question

设椭圆过点(0,4)，离心率为 .

(1)求椭圆的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；

（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．

（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，

由e==，得1﹣=，∴a=5，

∴椭圆C的方程为+=1．

（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），

设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，

由韦达定理得x1+x2=3，

y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．

由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，

∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．