Question

已知数列满足，且.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意得，化简整理，结合定义，即可得证．

（2）由（1）可得，代入可得，分别讨论n为奇数和偶数时的表达式，结合单调性，便可求出m的取值范围．

（1）证明：因为，所以

即，则

从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列

（2）【解析】
由（1）知，即

所以

当为偶数时，

当为奇数时，

当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；

当为奇数时，是递增的，此时，则.

综上，的取值范围是.