Question

已知直线l的方程为，圆C的方程为.

（1）证明：直线l与圆C相交；

（2）设直线l与圆C交于两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程.

Answer

（1）证明见解析；（2）（除去点）.

【解析】

（1）求出直线所过定点坐标，定点在圆内即得；

（2）由弦的性质得，这用斜率表示出来即得轨迹方程，

（1）直线l的方程可化为，

则l恒过定点.，

在圆C内.故直线l与圆C总相交.

（2）设，有.

由于，所以，，

即.

点M的轨迹方程为.

直线斜率不存在时，弦中点为，在曲线上，应排除，

所以点M的轨迹方程为（除去点）.