Question

已知函数，（为常数）.

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论；

（2）由得，转化为，设，利用二次函数的性质，即可求解.

（3）把函数有个零点转化为方程有两个解，令，作的图像及直线图像，结合图象，即可求解，得到答案.

（1）当时，且时，是单调递减的.

证明：设，则

又且，

故当时，在上是单调递减的.

（2）由得，变形为，即，

设，令，则，

由二次函数的性质，可得，所以，解得.

（3）由有个零点可得有两个解，

转化为方程有两个解，

令，作的图像及直线图像有两个交点，

由图像可得：

i）当或，即或时，有个零点.

ii）当或或时，由个零点；

iii）当或时，有个零点.