Question

已知函数（且）.

（1）求函数的定义域，并求出当时，常数的值；

（2）在（1）的条件下，判断函数在的单调性，并用单调性定义证明；

（3）设，若方程有实根，求的取值范围.

Answer

（1）定义域为或，（2）在的单调递增，见解析（3）

【解析】

（1）解不等式得出该函数的定义域，由结合对数的运算性质得出；

（2）利用定义以及不等式的性质证明单调性即可；

（3）将方程转化为二次函数，通过讨论对称轴的位置，求出的取值范围.

【解析】
（1）由且

知

∴或

∴定义域为或

由得

∴

∵

∴

（2）由（1），判断在的单调递增

证明：设，则

∴，即

∴

∴在的单调递增.

（3）函数的定义域为，函数的定义域为，

∵有实根，在有实根

在有实根

化简整理得，方程在上有解

设 对称轴.

①即且

∵且在为增函数，所以方程在无解.

②，即

则，即，解得

综上.