Question

已知.

（1）已知函数在点的切线与圆相切，求实数的值.

（2）当时，，求实数的取值范围.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）利用导数的几何意义得出切线方程，再由圆心到切线方程的距离为1，求出实数的值；

（2）构造函数，讨论参数的值，当时，利用导数证明函数在在上是增函数，从而得出时，，；当，利用导数得出函数在是减函数，从而得出，此时不满足题意，即可得出答案.

（1）由题知，，

在点的切线斜率为

在点的切线方程为，即

由题知，，解得.

（2）设

设，

当时，，，

即在上是增函数，

当时，，则当时，

函数在上是增函数

当时，，满足题意，即成立

当时，

在上是增函数，趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大

存在上，使

当时，，函数在是减函数

当时，，不满足题意

综上所述，实数的取值范围为.