Question

已知函数，其中为实数.

（1）当时，判断函数在其定义域上的单调性；

（2）是否存在实数，使得对任意的，恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值并加以证明.

Answer

（1）在和上单调递增（2）存在，，证明见解析

【解析】

（1）求导得，，设，由恒成立，即可得到本题答案；

（2）当时，，则，求的最大值，可确定a的取值范围；当时，，则，求的最小值，可确定a的取值范围，综上，即可得到本题答案.

（1）当时，，，

令，.

当时，，当时，.

∴，

∴恒成立，

∴时，恒成立.

∵恒成立，

∴在和上单调递增.

（2）①当时，，则，

令，则，

再令，则，

故当时，，所以在上单调递减，

所以当时，，所以，

所以在上单调递增，，所以.

②当时，，则.

由①知当时，，在上单调递增，当时，，

所以，所以在上单调递增，

所以，所以.

综合①②得：.