Question

在底面是菱形的四棱锥中，.

（1）证明：平面；

（2）点在棱上.

①如图1，若点是线段的中点，证明：平面；

②如图2，若，在棱上是否存在点，使得平面？证明你的结论.

Answer

（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②存在，证明见解析

【解析】

（1）首先根据题意得到是等边三角形，根据勾股定理得到，，再根据线面垂直的判定即可证明平面.

（2）①根据三角形中位线即可得到，再根据线面平行的判定即可证明平面.②存在是中点，使得平面，取中点，连结.根据三角形中位线即可得到面，面，即平面平面，再利用面面平行的性质即可得到平面.

（1）在菱形中，，

∴是等边三角形.

又，故菱形边长为，

在中，，则

同理.

又面，，

∴平面.

（2）①连结交于，连接.

在菱形中为中点又是线段的中点，

所以.

∵面，面，

∴面.

②存在，是中点.

取中点，连结.

在中，为中点，则，

又∵面，面，∴面.

同理面.

又∵面，，

所以平面平面，

又面∴平面.