Question

已知函数.

（1）设函数，求函数的极值；

（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）当时，极大值为，无极小值；当时，无极值；（2）或.

【解析】

（1）求出，对分类讨论求出单调区间，即可求出结论；

（2）在上存在一点，使得成立，即为，只需，结合（1）中的结论对分类讨论求出，即可求解.

（1）依题意，定义域为，

∴，

①当，即时，

令，∵，∴，

此时，在区间上单调递增，

令，得.

此时，在区间上单调递减.

②当，即时，恒成立，

在区间上单调递减.

综上，当时，

在处取得极大值，无极小值；

当时，在区间上无极值.

（2）依题意知，在上存在一点，使得成立，

即在上存在一点，使得，

故函数在上，有.

由（1）可知，①当，

即时，在上单调递增，

∴，∴，

∵，∴.

②当，或，

即时，在上单调递减，

∴，∴.

③当，即时，

由（2）可知，在处取得极大值也是区间上的最大值，

即，

∵，∴在上恒成立，

此时不存在使成立.

综上可得，所求的取值范围是或.