Question

已知函数有两个零点.

（1）求的取值范围；

（2）记的极值点为，求证：.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）求导得，分类讨论求出函数的单调性，从而可求出答案；

（2）由题意得，则，令函数，则，利用导数可求得，从而可得，可得，要证，只需，令，即证，令，求导后得函数的单调性与最值，由此可证结论．

【解析】
（1）因为，

当时，，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，舍去；

当时，若，则；若，则，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，

因为有两个零点，所以必须，则，

所以，解得，

又因为时，； 时，，

所以当时，在和各有一个零点，符合题意，

综上，；

（2）由（1）知，且，

因为的两个零点为，所以，所以，

解得，令所以，

令函数，则，

当时，；当时，；

所以在单调递增，在单调递减，

所以，所以，所以，

因为，又因为，所以，

所以，即，

要证，只需，

即证，即证，即证，

令，再令，即证，

令，则，

所以在单调递增，所以，

所以，原题得证．