Question

直三棱柱中，，，，点是线段上的动点.

（1）当点是的中点时，求证：平面；

（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

【试题分析】（1）连接，交于点，连接，则点是的中点，利用三角形的中位线有,，由此证得线面平行.（2）当时平面平面.利用，可证得平面，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得的长.

【试题解析】

（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点，

又点是的中点，由中位线定理得，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）当时平面平面.

证明：因为平面，平面，所以．

又，，所以平面，

因为平面，所以平面平面，

故点满足.

因为，，，所以，

故是以角为直角的三角形，

又，所以.