Question

梯形中，，，，，过点作，交于（如图1）.现沿将折起，使得，得四棱锥（如图2）.

（1）求证：平面平面；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）在中，求解三角形可得，又，得到四边形为平行四边形，进一步得到平行四边形为菱形，则，再由，得平面，从而得到平面平面；

（2）由平面，得到，再由，得平面，设，可得，分别为，的中点，则，得到平面，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

【解析】
（1）在中，∵，，∴，又，∴，

又，∴四边形为平行四边形.

∵，∴平行四边形为菱形，∴，

又，平面，，

∴平面.

又∵平面，∴.平面平面.

（2）∵平面，平面，∴，

又，平面，，∴平面，

设，∵，分别为，的中点，∴，∴平面，

由（Ⅰ）得，以为原点，建立如图空间直角坐标系.

不妨设，可知，，，，，

设平面的一个法向量为，则，∴，

令，则，，∴，

易得平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则，

即二面角的余弦值为.