Question

已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，O是坐标原点，是等腰直角三角形，且周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l与AF垂直，且交椭圆于B，C两点，求面积的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）依题意求出，，的值，即可求出椭圆方程；

（2）由（1）可得直线的斜率，则可设直线的方程为，

联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出参数的范围，设，，利用韦达定理及点到线的距离公式表示出及点到直线的距离，则利用导数求出面积的最值；

【解析】
（1）在中，，，则，

因为是等腰直角三角形，且周长为，

所以，，，

得，，

因此椭圆的方程为.

（2）由（1）知，，则直线的斜率，

因为直线与垂直，所以可设直线的方程为，

代入，得，

则，解得，

所以.

设，，则，，.

又点到直线的距离，

所以，.

令，

则，

令，则或，

令，则或.

因此在上是增函数，在上是减函数，

在上是增函数，在上是减函数.

因为，，，

所以当时，取得最大值，，

所以，

因此面积的最大值是.