Question

如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，点在棱上，且.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）首先证明四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质证明线线平行，然后根据线线平行推出线面平行即可；

（2）首先找出直线在平面内的垂足，再利用直角三角形的边长关系求出角的正弦值.

（1）证明：取的三等分点，且，连接，，

因为，，

所以，且，

因为，，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）过点作，垂足为，连接，

因为平面，所以，

所以平面，则为直线与平面所成的角，

由题意可得，，

所以，

故，

即直线与平面所成角的正弦值是.